Operasi aljabar yang melibatkan bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar

BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR

Dalam suatu lomba gerak jalan, setiap regu terdiri dari 27 orang yang disusun menjadi 9 baris dan tiap baris terdiri dari 3 orang. Kemudian 9 baris tersebut dibagi menjadi 3 bagian dan tiaptiap bagian terdiri dari 3 baris, yaitu bagian depan, tengah, dan belakang. Masing-masing bagian diberi jarak 1 baris. Hal ini dilakukan untuk memudahkan dewan juri dalam mengecek jumlah orang tiap regu. Jika tiap regu terdiri dari 3 bagian dan tiap bagian terdiri dari 3 baris, serta tiap baris terdiri dari 3 orang maka jumlah peserta dalam regu tersebut tepat 27 orang. Untuk menuliskan jumlah tiap regu dalam permasalahan di atas, sebenarnya dapat dilakukan dengan cara yang lebih efektif dan efisien, yaitu dengan cara notasi bilangan berpangkat. Agar lebih memahami bilangan berpangkat dan bentuk akar, pelajarilah bab ini sehingga kalian dapat mengidentifikasi sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar, melakukan operasi aljabar yang melibatkan bilangan berpangkat dan bentuk akar, serta dapat memecahkan masalah sederhana yang berkaitan dengan materi ini.

A.    Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat

Setiap manusia yang hidup pasti dia akan membutuhkan sesuatu atas dirinya seperti makan, bernafas, pakaian, tempat tinggal, dan lain-lain. Kebutuhan-kebutuhan manusia sebagian besar diperoleh tidak dengan cuma-cuma. Diperlukan sebuah usaha untuk mendapatkannya baik mencari, membeli, dan usaha-usaha yang lainnya.
Untuk membeli sebuah kebutuhan, kadang manusia harus mengeluarkan uang dalam jumlah besar. Misal untuk membeli rumah mewah manusia harus mengeluarkan uang sebesar 1 milyar rupiah. Jika dalam matematika 1 milyar dapat dituliskan dengan 1.000.000.000. Agaknya untuk menuliskan jumlah tersebut terlalu panjang, dapat juga dituliskan dalam bentuk baku yaitu 1 × 109. Nah, bilangan yang dituliskan sebagai 109 inilah yang disebut sebagai bilangan berpangkat. Dalam hal ini 10 disebut bilangan pokok, sedangkan 9 disebut bilangan pangkat. Karena pangkatnya bilangan bulat, maka disebut bilangan berpangkat bilangan bulat.

1.      Bilangan Berpangkat Sederhana

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemui perkalian bilangan-bilangan dengan faktor-faktor yang sama. Misalkan kita temui perkalian bilangan-bilangan sebagai berikut.



Perkalian bilangan-bilangan dengan faktor-faktor yang sama seperti di atas, disebut sebagai perkalian berulang. Setiap perkalian berulang dapat dituliskan secara ringkas dengan menggunakan notasi bilangan berpangkat. Perkalian bilanganbilangan di atas dapat kita tuliskan dengan:



Bilangan 2³, 3⁵, 6⁶ disebut bilangan berpangkat sebenarnya karena bilangan-bilangan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian berulang. Bilangan berpangkat aⁿ dengan n bilangan bulat positif didefinisikan sebagai berikut.

2.     Bilangan Berpangkat Negatif

Apa yang terjadi jika m = 0? Dari pembahasan di atas jika dipilih m = 0, maka:

B.     Perpangkatan Bilangan Pecahan

Perpangkatan Bilangan Pecahan – Salah satu dari sekian banyak operasi matematika yang bisa sobat lakukan terhadap kelompok bilangan pecahan adalah “pangkat” atau “eksponen”. Perpangkatan dalam pecahan sama prinsipnya dengan aturan pangkat pada bilangan bulat. Perpangkatan bentuk aⁿ sama dengan perkalian a dengan bilangan a juga sebanyak n kali. Kali ini kita akan membahas bilangan pecahan dipangkatkan sebuah bilangan dengan batasan hanya bilangan bulat positif atau bilangan bulat negatif.

1.    Bilangan pecahan berpangkat bilangan bulat positif

Bila sobat punya pecahan berpangkat bilangan bulat positif a/b yang dipangkatkan dengan n maka hasilnya sama dengan aⁿ/bⁿ. Ingat ya sobat, pembilang dan penyebut sama-sama dipangkatkan jangan cuma pembilang atau penyebutnya saja. Kebanyakan kita kadang lupa hanya melakukan pemangkatan untuk pembilangnya saja.

Contoh
(2/3)³ = 2/3 x 2/3 x 2/3 = 2³/3³ = 8/ 27

(1/2)⁵ = 1⁵/2⁵ = 1/32

dari uraian diatas, dapat kita simpulkan untuk sembarang bialngan bulat p dan q dengan q ≠ 0 dan m adalah bilangan bulat positif berlaku rumus

Pecahan berpangkat bilangan bulat negatif

Sedikit berbeda dengan pangkat bilangan bulat negatif, jika sobat punya bilangan pecahan p/q kemudian dipangkatkan dengan bilangan bulat negatif -m  maka hasilnya sama seperti (q/p)^m = q^m/p^m.  Dibaliknya p/q menjadi q/p adalah untuk membuat pangkatnya menjadi positif sehingga bisa dikerjakan operasi matematikanya. Selengkapnya tentang sifat bilangan berpangkat bisa sobat tengok di positingan ini.

Contoh
(2/3)^-3 = (3/2)³ = 3³/2³ = 27/8 = 3 3/8

(3/5)^-2 = (5/3)² = 5²/3² = 25/9 = 2 7/9

Dari uraian di atas dapat kita simpulkan bahwa untuk sembarang bilangan bulat p dan q dengan p ≠ 0 dan q ≠ 0 dan m adalah bilangan bulat negatif berlaku

Bagaimana bila pecahan dipangkatkan bilangan pecahan? Khusus untuk  materi yang lebih lengkap yang mengupas tentang pecahan dipangkatkan dengan pecahan akan kita bahas pada postingan yang lain. Jadi dari uraian di atas, secara garis besar dapat kita tarik kesimpulan dalam perpangkatan pecahan degan bilangan bulat positif dan negatif berlaku sifat:

a. Perpangkatan p/q dengan bilangan bilangan bulat positif m sama dengan pm/qm.

b. Perkalian dua bilangan pecahan berpangkat dengan bilangan pokok yang sama hasilnya sama dengan bilangan pokok dipangkatkan dengan jumlah kedua pangkat bilangan tersebut

c. Pembagian dua bilangan pecahan berpangkat dengna bilangan pokok yang sama hasilnya sama dengan bilangan pokok dipangkatkan dengan hasil pengurangan kedua pangkat pada bilangan tersebut

d. Pecahan berpangkat kemudian dipangkatkan hasilnya sama dengan pecahan diapangkatkan dengna hasil perkalian kedua pangkat tersebut.

http://garueda.blogspot.co.id/2013/02/bilangan-berpangkat-dan-bentuk-akar.html

http://rumushitung.com/2015/10/15/perpangkatan-bilangan-pecahan/